基础数学示例

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 27}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 3^{3}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = c$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - c \cdot 3 + 3^{2})}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 3^{2})}$

解题步骤 1.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{6}{c + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ 。

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{3}{c^{2} - c + 9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{c + 3}{c + 3}$ 。

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(c + 3) (c^{2} - c + 9)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{6}{c + 3}$ 乘以 $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ 。

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{c^{2} - c + 9}$ 乘以 $\frac{c + 3}{c + 3}$ 。

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c^{2} - c + 9) (c + 3)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(c^{2} - c + 9) (c + 3)$ 的因式。

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{6 (c^{2} - c + 9) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

从 $6 (c^{2} - c + 9) + 3 (c + 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $6 (c^{2} - c + 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 (c^{2} - c + 9)) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6.1.2

从 $3 (2 (c^{2} - c + 9)) + 3 (c + 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 (c^{2} - c + 9) + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 c^{2} + 2 (- c) + 2 \cdot 9 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} - 2 c + 2 \cdot 9 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} - 2 c + 18 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6.4

将 $- 2 c$ 和 $c$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 18 + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 6.5

将 $18$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 7

要将 $\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

解题步骤 8

要将 $- \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$

解题步骤 9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)$ 的形式。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)}$ 乘以 $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$ 乘以 $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 9.3

重新排序 $(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)$ 的因式。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

从 $3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 162 (c^{2} - c + 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 11.1.1

从 $3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) - 162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.1.2

从 $- 162 (c^{2} - c + 9)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) + 3 (- 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.1.3

从 $3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) + 3 (- 54 (c^{2} - c + 9))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)$ 。

$\frac{3 (2 c^{2} c^{2} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

通过指数相加将 $c^{2}$ 乘以 $c^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.1.1

移动 $c^{2}$ 。

$\frac{3 (2 (c^{2} c^{2}) + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (2 c^{2 + 2} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{2} c + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.3

通过指数相加将 $c^{2}$ 乘以 $c$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

移动 $c$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 (c \cdot c^{2}) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.3.2

将 $c$ 乘以 $c^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.3.2.1

对 $c$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 (c^{1} c^{2}) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{1 + 2} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{3} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.5

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.6

通过指数相加将 $c$ 乘以 $c^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.6.1

移动 $c^{2}$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - (c^{2} c) - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.6.2

将 $c^{2}$ 乘以 $c$ 。

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解题步骤 11.3.6.2.1

对 $c$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - (c^{2} c^{1}) - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{2 + 1} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 c \cdot c - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.8

通过指数相加将 $c$ 乘以 $c$ 。

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解题步骤 11.3.8.1

移动 $c$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 (c \cdot c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.8.2

将 $c$ 乘以 $c$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 c^{2} - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.9

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.10

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.11

将 $- 3$ 乘以 $21$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.3.12

将 $21$ 乘以 $9$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.4

从 $- 6 c^{3}$ 中减去 $c^{3}$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 18 c^{2} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.5

将 $18 c^{2}$ 和 $3 c^{2}$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 21 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.6

将 $21 c^{2}$ 和 $21 c^{2}$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 9 c - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.7

从 $- 9 c$ 中减去 $63 c$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.8

运用分配律。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} - 54 (- c) - 54 \cdot 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.9

化简。

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解题步骤 11.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 54$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} + 54 c - 54 \cdot 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.9.2

将 $- 54$ 乘以 $9$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} + 54 c - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.10

从 $42 c^{2}$ 中减去 $54 c^{2}$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 72 c + 189 + 54 c - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.11

将 $- 72 c$ 和 $54 c$ 相加。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 18 c + 189 - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

解题步骤 11.12

从 $189$ 中减去 $486$ 。

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 18 c - 297)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

基础数学 示例

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